Problembeschreibung

Oberflächen von Industrieprodukten wie z.B. die Außenhaut eines Automobils sollen glatt und schön sein, d.h. ein Beobachter sollte von jedem beliebigen Standpunkt aus eine ruhige, ausgeglichene Oberfläche erblicken. Daher wird als optisches Indiz von schön ein ruhiger, ausgeglichener Verlauf von Reflexionslinien, Schattengrenzen, Isophoten usw. verwandt ([7,9,10], s.a. Figuren 1-3).

Mathematisch kann eine schöne Fläche durch minimale Energien (Modelle von Biegeenergien) beschrieben werden [2,4,6]. Daher stehen Flächenkonstruktionen mit verschiedenen Energiemodellen im Mittelpunkt der folgenden Betrachtung. Ein anderes Maß für schön könnte die maximale Zahl der Wendepunkte von Reflexionslinien sein - hierzu liegen aber noch keine Ergebnisse vor.

Der Prototyp eines technischen Objektes ist in der Regel ein Plastikmodell, das nach entsprechender Entscheidung des Managements mit Computerhilfe über CAD-Systeme für die Produktion vorbereitet werden muß. Dafür sind mathematische Beschreibungen der Objektoberflächen notwendig: Es werden zunächst die Oberflächen des Objektes vermessen - entweder mechanisch über berührende Meßmaschinen oder optisch über Laserscanner. Die so entstehende unstrukturierte Wolke von Meßpunkten ist Grundlage der Konstruktion der gesuchten glatten Oberfläche.

Für Flächenbeschreibungen werden in CAD-Systemen oft (parametrisierte) Spline-Flächen benutzt. Eine häufig verwandte Basis sind die B-Splines [2,7], so daß wir im folgenden als mathematisches Modell der Parameterdarstellung der gesuchten Fläche nur Tensorprodukt-B-Spline-Flächen benutzen werden. Selbstverständlich ist die Transformation in andere Basissysteme meist leicht möglich. Da Tensorproduktflächen Rechtecke als Parameterbereich besitzen, ist es in der bisher üblichen Technik notwendig, die Punktwolke in viereckige Segmente zu zerlegen. Dies geschieht manuell - automatisch arbeitende Segmentierungsalgorithmen liegen bisher im allgemeinen nicht vor. Die Punkte innerhalb eines solchen viereckigen Segments werden nun durch Tensorproduktflächen approximiert, Interpolationsverfahren werden praktisch nicht eingesetzt, da die vorhandenen Meßfehler immer zu recht rauhen Flächen führen. Das Hauptproblem bei der Approximation einer solchen segmentierten Punktmenge ist die richtige Parametrisierung [7]. Hier liegen in den CAD-Systemen recht einfache (und damit nicht befriedigende) Modelle zu Grunde, effektiver wirksame Energiemodelle werden bisher kaum benutzt. Es wurden daher zahlreiche Glättungsalgorithmen entwickelt, die in der Regel nicht automatisch arbeiten. Hier setzt das vorliegende Projekt ein:

Einmal sollen für bereits in einem CAD-System erstellte Flächenstücke automatisch arbeitende Glättungsalgorithmen entwickelt werden, die auch dann noch arbeiten, wenn auf der Fläche Kurven (z.B. Trimmränder von Löchern) gegeben sind, die beim Glättungsprozeß nicht verändert werden dürfen;
zum anderen kann mit dem Einsatz von Energiemodellen beim Approximieren auf die vorherige Segmentierung der Punktmenge größtenteils verzichtet werden, da jetzt mit freien Flächenrändern approximiert werden kann. Die eigentlichen Ränder der gegebenen Punktwolken werden dann durch Trimmkurven auf der Approximationsfläche beschrieben.